BULANIK MANTIK

Tansu KÜÇÜKÖNCÜ

Çanakkale OnSekiz Mart Üniversitesi, Bilgisayar Mühendisliği Bölümü

Diyelim ki kanarya, kartal, tavuk, penguen, ve yarasadan bahsediyoruz. ‘A’, bunlardan her hangi birisinin yerini tutacak şekilde, söze “A bir kuştur” diye başlıyoruz. İlk bakışta bu ifademiz hepsi için doğruymuş gibi görünebilir. Bu ifademizi yanlış bulup rahatsızlık hissedenler de çıkacaktır. Çünkü, kanarya, kartal, ve yarasa uçabilirler, fakat tavuk ancak bir kaç metre uçabilir. Penguense yüzmeyi tercih eder. Yarasa memelidir, doğurarak ürer, diğer hepsi yumurtlar. Kanarya ve kartal için bu cümle, diğerleri için olduğuna göre, daha doğru görünmektedir. Bu hayvanların her biri için bu cümle farklı derecelerde doğru gibi görünmektedir.

Şu kıyaslamaya bakalım :

Socrates bir insandır.

Tüm insanlar ölümlüdür.

------------------------

Öyleyse, Socrates ölümlüdür.

Bunu aşağıdaki gibi değiştirelim:

Socrates çok sağlıklıdır.

Sağlıklı insanlar çok uzun zaman yaşarlar.

----------------------------------

Öyleyse, Socrates çok uzun zaman yaşayacaktır,

Bunu klasik mantıklarla ifade etmek kolay değildir. Üstelik, klasik mantık (‘doğru’ ve ‘yanlış’tan oluşan iki-değerli) sistemlerinin çoğu, bu tür cümleleri ilgi alanlarının dışında bırakırlar. Fakat bu tür cümleleri ve kıyaslamaları günlük yaşantımızda çok sıklıkla kullanırız.

Bu yazının amacı, sizlere, bunlara benzer ve belirsizlik içeren diğer cümlelerden çıkarımlar yapmakta, diğer bir deyişle ‘yaklaşımsal nedenselleme’de (‘yaklaşımsal akıl yürütme’ de diyebiliriz), kullanılan mantık türlerinden birisi olan “bulanık mantık”ı (fuzzy logic) tanıtmak.

Bulanık mantık kullanan sistemlerle metroların işleyisi kontrol ediliyor, televizyonların alıcıları ayarlanıyor, bilgisayar disklerinin kafaları kontrol ediliyor, kameralar görüntüye odaklanıyor, klimalar, çamaşır makinaları, elektrikli süpürgeler ayarlanıyor, buzdolaplarının buzlanması engelleniyor, asansörler ve trafik lambaları programlanıyor, otomobillerin motorları, süspansiyonları, emniyet firen sistemleri kontrol ediliyor, füzeler, çimento karıştırıcılar kontrol ediliyor, robot kolları yönlendiriliyor, karakterler, nesneler tanınıyor, golf kulüpleri seçiliyor, hatta çiçek düzenlemesi yapılıyor.

Bulanık sistemler, eğitilebilir dinamik sistemlerdir. Bir fonksiyonu, çıktıların girdilere ne şekilde bağlı olduğunun matematiksel modelini bilmeksizin tahmin ederler. Sayısal, bazen dilsel örnek verilerden “deney yoluyla” öğrenirler. Uyarlanabilir bulanık sistemler, karmaşık süreçleri kontrol etmeyi, neredeyse bizler gibi öğrenebilirler.

BULANIKLIK KAVRAMI

"Atahan uzun bir çocuktur". "Elif güzel bir kızdır". "100, 1’den çok daha büyük bir sayıdır". "Bu yaprak kırmızıdır". Bunlar, klasik mantık sistemleriyle doğruluğundan söz edilebilmesi güç cümlelerdir. Çünkü ‘uzun’, ‘güzel’, ‘büyük’, ve hatta ‘çok daha’, açık bir şekilde tanımlanmamış, belirsizlik içeren sözcüklerdir. Fakat, bu şekilde açıkça tanımlanmamış kavramlar insanın düşünmesinde önemli rol oynarlar. İnsan nedensellemesinin gücü ve özü, bu tür belirsizlik içeren kavramları, doğrudan kavrayabilmesi ve kullanabilmesinde yatar.

Klasik mantık sistemleri, sadece belirli koşullarda oluşan, kesin doğruluk değerleri ‘doğru’ ya da ‘yanlış’tan birisine sahip önermelerle ilgilenirler. Belirsizlikle ilgilenmezler. Öyleyse, bu tür cümlelere, akılcı doğruluk değerleri nasıl verebiliriz ?

Yanıtı, sürekli veya dereceli biçimde bir doğruluk, yani ‘bulanık’ doğruluk kavramını kullanmak. Bulanık doğruluk kavramı, sıradan doğruluk kavramıyla benzerlikler gösterir, fakat daha geneldir, ve uygulama alanı daha geniştir, belirsizliğin, doğruluk ölçütünün keskin bir şekilde tanımlanmamasından kaynaklanan durumlardaki problemlerle uğraşmak için doğal bir yol sağlar.

Matematiksel olarak ‘bulanıklık’, ‘çok-değerlilik’ demektir, ve kökenleri, kuvantum mekaniğindeki “Heisenberg’in konum-momentum belirsizliği ilkesine dayanır (Bu ünlü ilke der ki, bir elektronu gözlerken, konumunu ve hızını aynı anda doğru olarak belirlemek mümkün değildir. Bu iki niceliği aynı anda ölçerken yapılacak hatalar, kabul edilebilir sınırlara çekilemez). Üç değerli bulanıklık, ‘doğruluk’, ‘yanlışlık’, ve ‘belirlenemezlik’e ya da ‘varlık’, ‘yokluk’, ve ‘belirsizlik’e karşılık gelir. Çok-değerli bulanıklık, belirlenemezlik ya da belirsizliğin derecelerine, olay ya da ilişkilerin kısmi oluşlarına karşılık gelir.

KISA BIR TARİHÇE

Mantıksal paradokslar ve Heisenberg’in belirsizlik ilkesi, 1920’ler ve 1930’larda çok değerli mantık sistemlerinin gelişmesine yol açtı. Kuvantum teorisyenleri, iki değerli mantık sistemlerinin ‘doğru’ ve ‘yanlış’tan oluşan değer kümesine, bir üçüncü veya orta doğruluk değeri ekleyerek ‘belirlenemezlik’in ifade edilebilmesine imkan sağladılar. Bundan sonraki aşamada, ‘doğru’ ve ‘yanlış’, ‘belirlenemezlik’ tayfının sınır koşulları olarak görülüp belirlenemezlik derecelendirildi.

Heisenberg’in belirsizlik ilkesi, ‘belirlenemezlik’inin sürekliliğiyle, bilimi çok değerliliğe zorladı. Pek az batılı filozof çok değerliliği benimsemesine rağmen, Lukasiewicz, Gödel, ve Black, ilk çok-değerli ya da bulanık mantık ve küme sistemlerini geliştirdiler.

1930’ların başlarında Polonyalı mantıkçı Jan Lukasiewicz ilk üç-değerli mantık sistemini geliştirdi. Lukaziewicz, daha sonra doğruluk değerlerinin kümesini tüm sayılara genelleştirdi.

1930’larda kuvantum filozofu Max Black, sürekli değerlere sahip mantığı, eleman düzeyinde kümelere uyguladı. Black, bulanık-küme üyelik fonksiyonlarından bahseden ilk kişi oldu. Black, ifade etmeye çalıştığı yapılardaki belirsizliği ‘müphemlik’ olarak adlandırdı. Zadeh’in bulanık-küme teorisinin aksine, Black’in çok değerli kümelerindeki her bir eleman, sürekli değerlere sahip bir mantık çerçevesinde ele alınan bir cümleyle eş-değerdi.

1965’te Azeri kökenli sistem bilimci Lotfi Zadeh, bir çok-değerli küme teorisi geliştirdi, ve ‘bulanık’ kelimesini teknik terimlere dahil etti.

BULANIK MANTIK

Mantık, antik çağdan günümüze dek gelişmeler gösterdi (1). Kendini zamanın gereklerine uydurmaya çalıştı. Bulanık mantık, onun gelişimindeki son aşamalardan birisidir.

Klasik mantıklarda, bir önerme (2) ya ‘doğru’ ya da ‘yanlış’ olarak kabul edilir. Üçüncü bir durumun gerçekleşmesinin imkansız olduğu varsayılır, ve çoğu zaman bu tür durumlar ‘paradoks’ olarak adlandırılır. Diğer bir deyişle, doğruluk, önermeleri, {Yanlış, Doğru}, veya sayısal olarak {0, 1} (3), kümesinin elemanlarıyla ilişkilendiren bir küme olarak görülebilir.

Bulanık mantığın ardındaki temel fikir, bir önermenin ‘doğru’, ‘yanlış’, ‘çok doğru’, ‘çok yanlış’, ‘çok çok doğru’, ‘çok çok yanlış’, ‘yaklaşık olarak doğru’, ‘yaklaşık olarak yanlış’, v.b. gibi, olabileceğidir. Diğer bir deyişle, doğruluk, önermelerle, klasik yanlış ve doğru arasındaki sonsuz sayıdaki doğruluk değerlerini içeren bir kümedeki değerler, ya da sayısal olarak [0, 1] (4) gerçel sayı aralığıyla ilişkilendiren bir fonksiyondur (5). Bu, Zadeh’in bulanık kümeler üzerindeki ilk çalışmasının bir sonucudur. Mantık ve kümeler arasındaki ilişkiden biraz ileride bahsedilecektir.

Bulanık mantığı tanımlamanın belki de en basit yolu, yaklaşımsal nedensellemenin bir mantığı olduğunu söylemektir. Belirleyici özellikleri :

a. ‘doğru, çok doğru, az çok doğru, daha doğru, doğru değil, yanlış, çok doğru değil, ve çok yanlış’ gibi sözel olarak ifade edilen (ya da sayısal olarak [0,1] gerçel sayı aralığında yer alan) doğruluk değerlerine sahip oluşu (bu, belirsizlik içeren doğruluk tablolarını da beraberinde getirir), ve

b. geçerliliği kesin değil, fakat yaklaşık olan çıkarım kurallarına sahip oluşudur.

Bunlardan dolayı, bulanık mantık, klasik Aristo mantığından tümevarımsal mantıklara, küme-değerli doğruluk değerlerine sahip çok değerli mantıklara, diğer mantık sistemlerinden belirgin bir şekilde ayrılır.

Bulanık mantığın doğruluk tabloları, ve çıkarım kuralları

a. belirsizlik içerir, ve

b. ‘doğru’ ve ‘yanlış’a yüklenen anlamlara olduğu kadar, bu anlamları güçlendirmek ya da zayıflatmakta kullanılan ‘çok, oldukça, daha çok, daha az’ gibi niceleyicilere yüklenen anlamlara da bağlıdır.

Nedensellemede, ağırlıklı olarak çıkarımlardan yararlanılır. |=>, bir tür koşullu önerme bağlacı olsun. b, bir önerme ve a, onun koşulu olsun. ‘a |=> b’, ‘a ise b’ diye okunur, ve genel olarak, klasik mantık sistemlerinde a koşulunun (önermesinin) doğru olması durumunda b önermesinin de doğru olacağına işaret eder. Çok değerli mantıklarda, bu tür bir ilişkide a’nın doğruluk değerinin b’nin doğruluk değeri üzerinde ne tür etki yaratacağının özel olarak tanımlanması gerekir. Bulanık mantıkta, bu tür ilişkilere dayalı çıkarım yapmak, örneğin v(.), parametresi olacak önerme ya da önermelerin doğruluk değerini gösterecek şekilde, v(a)’yı ve v(a |=> b)’yi biliyorken, v(b)’nin değerini bulmak, diğer çok-değerli mantıklarda olduğundan biraz daha karmaşıktır. Yaklaşımsal çıkarım yaparken, doğrulukla, kesinliğin aynı doğrultuda ilerleyeceğini görmek güç değildir. Koşula bağlı önermelerin doğruluğu, daima koşullarının doğruluğundan daha az hassasiyete sahiptir.

TEMEL İŞLEMLER

Ayrışma (Veya) : v(a V b) = en-büyük (v(a), v(b))

Birleşme (Ve) : v(a b) = en-küçük (v(a), v(b))

Olumsuzlama (Değilleme) : v(~a) = 1 - v(a)

burada, en-büyük ve en-küçük, sonuç olarak parametreleri arasındaki en büyük ve en küçük değerleri veren fonksiyonlardır.

İki değerli mantıklarda ‘değilleme’, ‘karşıt anlamlı olma’ya karşılık gelir. Bulanık sistemlerde ‘doğru değil’ şeklindeki bir ifade, ‘yanlış’ anlamına gelmeyebilir. Bazı durumlarda ‘doğru değil’i, ‘doğru’ya ‘yanlış’ın olduğundan daha yakın olarak algılamak daha anlamlı olabilir.

Kolayca görülebileceği gibi, değer kümesi, [0, 1] yerine {0, 1} alındığında bu işlemlerden klasik mantıklardaki sonuçlar elde edilecektir.

En-büyük ve en-küçük fonksiyonlarının kullanımının uygunluğu 1973’te Bellman ve Giertz tarafından gösterilmiştir. Fung ve Fu ise 1975’te en-büyük ve en-küçük’ün tek olası işlemler olabileceğini bulmuştur. Matematiksel olarak doğrulanmasının yanında, en-büyük ve en-küçük fonksiyonlarının etkisi, insan nedensellemesinin nasıl olduğunu da ifade ediyor görünmektedir. n tane, derecelendirilmiş doğruluk değerlerine sahip önerme olsun. Her hangi bir kimsenin bunları kullanarak akıl yürüteceğini varsayın. Bunların hepsi ‘veya’ bağlacıyla bağlı olduğunda, doğruluk durumuna olabildiğince yakın olmak isteyecek, ve bu yüzden bu önermeler gurubunun ortak doğruluk değeri olarak, önermeler içinde doğruluk değeri en yüksek olanınkini seçecektir. Bunların hepsi ‘ve’ bağlacıyla bağlı olduğundaysa, en kötü durumu bilmek isteyecektir, bu yüzden bu önermeler gurubunun ortak doğruluk değeri olarak, önermeler içinde doğruluk değeri en düşük olanınkini seçecektir.

Diğer mantık teorilerinde geçerli olan işlemler, bulanık mantık için de geçerlidir. Bulanık mantığı, diğer mantık sistemlerinden ayıran önemli özelliklerden birisi, ‘dışlanmış orta kanunu’ ve ‘çelişmezlik ilkesi’ olarak adlandırılan, ve

v(a V ~a) = Doğru , ve v(a ~a) = Yanlış

şeklinde ifade edilen, diğer mantık sistemleri için oldukça önemli olan, hatta temel kural denebilecek, iki özelliğin, bulanık mantık için geçerli olmamasıdır. Bulanık mantıkta

v(a V ~a) != Doğru , ve v(a ~a) != Yanlış

olur. Burada ‘!=‘, 'eşit değildir' demektir. Bunu sözlü olarak şöyle ifade edebiliriz; bulanık mantıkta ‘bir önerme ya doğrudur ya da yanlıştır’ diyemezsiniz, aynı zamanda ‘bir önerme aynı zamanda hem doğru hem yanlış olamaz’ da diyemezsiniz. Bu, doğruluğun çok değerli oluşundan ve bu çerçevede ‘V ve ‘ bağlaçlarına yüklenen anlamdan kaynaklanmaktadır.

Bulanıklık, bir önermeyle (a), ‘değili’ (~a) arasındaki belirsizlikten kaynaklanır. Eğer v(a)’yı kesin olarak bilmiyorsak, v(~a)’yı de kesin olarak bilmiyoruz demektir. Bu belirsizlik, çelişmezlik ilkesini ihlal edip ‘v(a ~a) != Yanlış’ olmasına, aynı zamanda dışlanmış orta kuralını ihlal edip ‘v(a V ~a) != Doğru’ olmasına yol açar.

MANTIK ve KÜME KURAMLARI ARASINDAKİ İLİŞKİ

Mantık, matematik aracılığıyla, felsefe ile diğer bilimler arasında güçlü bir bağ sağlar.

Günümüzde matematikte genel olarak üç temel görüşün etkin olduğu kabul edilir : ‘sezgiselci’, ‘biçimselci’, ve ‘mantıkçı’ görüşler. Mantıkçı görüşün savı, matematiğin mantığın bir dalı olduğudur. Matematiksel kavramlar, mantıksal kavramlarla ifade edilebilir, ve matematiğin tüm kuramları, mantığın kuramları olarak türetilebilir.

Küme kuramı (6), aritmatiğin (7) ve mantığın temellerini oluşturur, hatta matematik ve biçimsel nedensellemenin en önemli kısmını oluşturduğu bile söylenebilir. Bu yüzden, temel küme işlemleriyle (‘birleşme’ ve ‘kesişme’), temel mantıksal işlemler (‘veya’ ve ‘ve’ bağlaçları) arasında sıkı bir bağ vardır. Mantıkçılar arasında önermeler için doğruluk koşullarını küme kuramı terimleriyle ifade etmek yaygındır.

"Socrates bir insandır" önermesini ele alalım. ‘İnsan’, belli özellikleri taşıyan bazı varlıklar, yani bir küme, için ortak bir isimdir. Böylece "Socrates bir insandır" önermesi doğrudur demek, "Soctares insan olarak adlandırılan kümenin bir elemanıdır" demeye denktir.

BULANIK KÜMELER

Bulanık küme kavramı, Zadeh’in, klasik sistem kuramının matematiksel yöntemlerinin gerçek dünyadaki pek çok sistemle, özellikle insanları içeren kısmen karmaşık sistemlerle, uğraşırken yetersiz kalmasından hoşnut kalmayışından doğdu.

Zadeh, ‘uzun, kırmızı, durağan’ gibi yüklemlerin ikili üyelik fonksiyonuyla ifade edilen klasik kümeler yerine, dereceli üyelik fonksiyonuyla ifade edilen bulanık kümeler tanımlamasını önerdi.

Bulanık küme kuramı, ‘belirsizlik’in bir tür biçimlenişi, formüllendirilmesidir. Bir çeşit çok-değerli küme kuramıdır. Fakat işlemleri, diğer küme kuramlarınınkilerden farklılıklar gösterir.

Kümedeki her bir birey, çift-değerli küme kuramlarında olduğu gibi ‘üye’ ya da ‘üye değil’ olarak değil, bir dereceye kadar üye olarak görülür. Örneğin, 1.90 m. boyundaki bir adam ‘uzun adamlar’ kümesinin bir üyesidir. 2.00 m. boyundaki bir adam ve 2.10 m. boyundaki bir adam da öyle. Bazı amaçlar için, onları bu kümenin ‘üyesi’ ya da ‘üyesi değil’ şeklinde sınıflandırmak yeterli olmayabilir. Bu gibi durumlarda, onların üyelik değerlerini, dereceli olarak, boylarına göre tanımlamak uygun olabilir.

‘Bulanık küme’ kavramı, hassasiyetin arttırılması açısından, klasik kümelerinkine göre daha uygun olan yeni bir araç sağlıyor olarak görülebilir. Getirdiği yaklaşım, klasik küme kuramlarında kullanılan üyelik kavramını bir kenara bırakıp yerine tamamen yenisini koymak değil, iki-değerli üyeliği çok-değerliliğe taşıyarak genellemesini yapmaktır.

BULANIKLIĞIN ÖLÇÜLMESI

Bulanık bir önerme, ne kadar bulanıktır ? Çeşitli yazarlar, bulanık bir önermenin bulanıklığını ölçmek için sayısal ölçütler ileri sürmüşlerdir. Bulanıklığın derecesi, verilmiş bir kümeye neyin üye olup neyin olmayacağını belirlemekteki güçlükte yatar. Bulanıklığın ölçütleri, v(a) ve v(~a)’nın değerini aynı anda bulmaya çalışırlar.

Bir d bulanıklık ölçütü, bulanık bir B evreninden [0, 1] gerçel sayı aralığına bir eşleştirmedir. Bu eşleştirme şu özellikleri sağlamalıdır.

1. d(a) = 0, sadece ve sadece a, B’de sıradan bir fonksiyonsa;

2. d(a) en büyüktür, sadece ve sadece v(a) = 1/2, a B ise;

3. d(a) = d(~a), (~a de en az a kadar bulanıktır).

Bulanıklığın en yaygın ölçütlerinden birisi, ‘entropi’dir. Entropi, bir sistem ya da mesajdaki belirsizliği ölçer. Bu da bulanıklığa denktir. Bir a önermesi, doğruluk değeri ‘doğru’ (1) ya da ‘yanlış’a (0) eşit değilse bulanıktır, aksi taktirde açık ve seçiktir. a’nın entropisi, E(a), genelde 0’la 1 arasında değişir. Bir birbirinden bağımsız önermeler kümesiyle tanımlanan bir olay için, bu önermelerin birbirine dik (ortogonal) olduğunu varsayarak, önermelerin doğruluk değerlerinden oluşturulmuş bir uzay düşünün. Oluşan şekil bir hiper-küp olarak adlandırılır. Bu hiper-kübün bir köşesi, tüm önermelerin ‘yanlış’ı, diğer köşeler ise, her bir önermenin ‘doğru’larıdır. Böyle bir durumda, köşeler açık ve seçiktir, bulanık olmayan önermeler belirsizlik içermediği için ‘0’ entropiye sahiptirler. Hiper-kübün geri kalan her yeri belirsizdir. Belirsizlik, hiper-kübün en ortasında, en büyüktür; rakamsal olarak genelde ‘1’le ifade edilir. Böyle geometrik bir yaklaşım, bulanıklığın derecesinin hesaplanmasını kolaylaştırır.

Bulanıklığın derecesini ifade etmek için, niceliksel bir ölçüt yerine, Kaufman’ın 1975’te önerdiği gibi, niteliksel bir yaklaşım da kullanılabilir. Bu şekilde bulanık kümeler, ‘biraz bulanık’, ‘hemen hemen kesin’, ‘çok bulanık’ gibi başlıklar altında kabaca sınıflandırılabilir.

BULANIKLIK ve RASGELELİĞİN KIYASLAMASI

Belirsizlik, rasgelelikle aynı şey midir ? İstatistik ve olasılık eğitimi almış pek çok kimse öyle olduğuna inanır. Özellikle, olasılığı, bir sıklık ya da diğer sınanabilir bir yığın olarak görmeyip, bilginin öznel bir durumu olarak gören Bayesçi istatistikçiler, bu iddiayı savunurlar.

Rasgelelik, hem kavramsal hem teorik olarak farklıdır. Fakat, aynı zamanda benzer yanları da vardır. Her iki kavram da belirsizliği, [0,1] birim aralığındaki gerçel sayılarla ifade etmek için kullanılır. Her iki sistemde de önermeleri ilişkilendirmekte benzer bağlaçlar kullanılır. İkisi arasındaki temel fark, bir a önermesiyle, onun ‘değil’i ~a’nın bir arada bulundukları durumlara yaklaşımlarında yatar. Klasik mantık teorileri, ‘v(a ~a) = Yanlış’ olduğunu şart koşarlar. Olasılıkçı mantık teorileri buna uyar :

P(a ~a) = v(a ~a) = P(Yanlış) = 0.

Burada P, bir önermenin doğru olma olasılığıdır. Bu yüzden a ~a, olasılıksal olarak imkansız bir olayı ifade etmektedir. Fakat, bulanıklık, ‘v(a ~a) != Yanlış’ olduğunda başlar.

Bulanıklık, olaydaki belirsizliği ifade eder. Bir olayın olup olmadığını değil, hangi dereceye kadar olduğunu ölçer. Rasgelelik, olayın oluşundaki kesin olmayışlığı ifade eder. Bir olayın olup olmadığı rasgeledir, yani olay olabilir de olmayabilir de. Hangi dereceye kadar olduğuysa bulanıklıktır. Bulanıklık, genel olarak ‘gerekirlik’ (deterministik) olmasına rağmen, rasgelelik tahminseldir (stokastik).

Araçların park etmesi için ayrılmış bir yerde, çizgilerle birbirinden ayrılmış park yerlerinden birisine park etmeye çalıştığınızı varsayın. Park yerlerinden her hangi birisine belli bir olasılıkla park edebilirsiniz. Aracınız, park yerlerinden birisini işgal edecek, diğerlerine taşmayacaktır. Bu rakamsal olasılık, önceki tekrarlanmışlık bilgisini ya da aracınızın bulunacağı park yeri bilgisini özetleyen Bayesçi zihinsel durumu yansıtır. Bir seçenek olarak, aracınızı tüm park yerlerini belli derecede işgal edecek şekilde de park edebilirsiniz. Uygulamada, park yerlerinin çoğunu ‘sıfır’ derecede işgal edecektir. Neticede, [0,1] gerçel aralığındaki sayıları, park yerlerinin her bir derecede kısmen işgal edilmesinin olasılıklarını, yani bulanık olayların olasılıklarını, bulmak için kullanabiliriz.

Bulanıklık, bir tür gerekirlik (deterministik) belirsizliktir. Belirsizlik, fiziksel bir özellik olarak görülebilir. Bulanıklığın aksine, olasılık, bilginin artmasıyla birlikte ortadan kalkar.

PARADOKSLAR ve BULANIK MANTIK

Temel olarak, paradoks (ikircikli cümle), hem ‘doğru’ hem ‘yanlış’, ya da ne ‘doğru’ ne de ‘yanlış’ doğruluk değerine sahip bir önermedir.

'Sorites' (bir tür nesneden pek çoğunun bir araya gelmesiyle oluşmuş bir yığın düşünün, bu nesnelerden birisi eksilde bile yığın olarak kalmaya devam edecektir) ve 'falakros' (kel bir adam düşünün ki, bir tel saçı çıksa bile kel olarak adlandırılmaya devam edecektir), gibi paradokslar ilk kez olarak antik Yunan’daki filozoflar tarafından not edilmişlerdir.

Mantıksal sistemler, paradokslarla ilgilenerken iki tür yol izlerler; ilki, onlardan kaçınmaktır (onlara, o sistem içinde oluşmaları olanaksız olan özel durumlar olarak davranarak), diğeri onlara doğruluk değerleri vermektir. Bulanık mantık, ikinci yolu tercih eder.

Doğruluk değeri atamak açısından bakıldığında, paradokslar, temel olarak iki gurup altında toplanabilirler :

a. Russell'ın berberi, Giritli yalancı, bir yüzünde “öbür yüzde yazan cümle doğrudur”, öbür yüzündeyse “öbür yüzde yazan cümle yanlıştır” yazan kart örneklerinde olduğu gibi, üçüncü bir doğruluk değerinin yeterli olduğu paradokslar,

b. Yukarıdaki ‘yığın’ ve ‘kel adam’ örneklerinde olduğu gibi, üçten daha fazla doğruluk değerlerine gereksinim duyulan paradokslar.

(a)’daki paradokslar, (b)’dekilerden daha tehlikelidir. Hepsi aynı biçimdedir. Bir a önermesiyle, onun değili ~a, aynı doğruluk değerine sahiptirler, yani v(a) = v(~a). Bu çelişmezlik ilkesi ve dışlanmış orta kuralını ihlal eder (v(a) = 1 - v(~a), and v(~a) = 1 - v(a)). Fakat bulanık mantıktaki ifade şekliyle :

v(a) = 1 - v(~a), and v(~a) = 1 - v(a) dir,

böylece v(a) = v(~a) = 1/2. Böylece, paradokslar yarı-doğrulara indirgenmiş olurlar.

Bulanıklık, aynı zamanda (b)’deki gurupta yer alan paradokslara da çözüm getirir. Örnek olarak, bir kum yığınını düşünün. İçinden bir kum tanesini alacak olursak, hala bir kum yığını olarak kalır mı (Sorites tipi paradoks) ? Peki ya iki kum tanesini alacak olursak ? Ya üç kum tanesini ? Birden bire değil, fakat dereceli bir şekilde, bir şeyden (yığından) onun tersi bir şeye (yığın olmayana) geçiş olmaktadır. Burada karşımıza çıkan derecelendirilmiş doğruluktur. a’dan ~a’ya bir yol hayal edin. Her bir kum tanesinin alınmasıyla, a’dan başlayıp, derece derece ~a’ya yaklaşırız. Bu yol üzerinde, ‘bu hala bir yığın mıdır’ sorusunu “yığındır”, “hemen hemen yığındır”, “neredeyse bir yığındır”, vb. şeklinde yanıtlayabiliriz. Veya, “bu bir yığındır” önermesine ‘doğru’, ‘hemen hemen doğru’, ‘neredeyse doğru’ gibi doğruluk değerleri atayabiliriz. Doğru olmanın derecelerinin etkisi, “bu, 0.999 ya da 0.875 ya da 0.764 derecesinde bir yığındır” gibi rakamsal değer içeren ifadelerle daha detaylı biçimde verilebilir.

Notlar

(1) Mantıksal sistemler tarihsel gelişimi içinde genel olarak aşağıdaki şekilde sınıflandırılabilir;

geleneksel mantık : Aristo tasımı (ya da mantığı)

klasik mantık : 2-değerli cümleler/önermeler mantığı

genişletilmiş mantıklar : kipler mantığı, zaman mantığı, ahlak mantığı, bilgi-bilim

mantığı, tercihler mantığı, emir kipi mantığı, sorulu mantık

aykırı mantıklar : çok değerli mantıklar, sezgisel mantıklar, kuvantum mantıkları,

serbest mantıklar

tümevarımsal mantık

(2) ‘Önerme’, genel olarak, beyan içeren bir cümlenin (hangi dilde söylenmiş olursa olsun) özünde öne sürülenleri belirtmek kullanılan bir terimdir. Düşünme eyleminin, ifade ediliş tarzı değil de, içeriği olarak da görülebilir.

(3) Buna ‘değer kümesi’ denir.

(4) Bir ‘fonksiyon’, bir ‘tanım kümesi’ ve bir ‘değer kümesi’yle birlikte anılır. Tanım kümesindeki nesnelerin, değer kümesindeki nesnelerle ilişkilendirilmesini tanımlar.

(5) Aslında, bulanık kümeler için, herhangi bir gerçel sayı aralığı, değer kümesi olarak kullanılabilir. Fakat, [0, 1] aralığının hepsini temsil edebileceği varsayıldığı ve pratikte kullanımı daha kolay olduğu için kullanılması tercih edilmektedir.

(6) Temel olarak, bir küme, genel olarak, benzer özellikleri nedeniyle bir araya gelmiş ya da birlikte anılan nesneler olarak tanımlanabilir. Kümelere ilişkin temel kavram ‘üyelik’tir. Klasik kümelerde üyelik, ya hep ya hiçtir. Bulanık kümelerdeyse derecelidir.

Küme teorisinin 1874’te Cantor'un Crelle's Journal isimli dergideki (Almanca) makaleyle doğduğu kabul edilir. Küme teorisini aksiyomatikleştirmek için ilk girişimde bulunanlardan birisi Frege’dir. Fakat oluşturduğu sistem, Russel paradoksunun bulunmasının ardından çökmüştür. Daha sonra, güçlü bir aksiyomatik yapıya sahip ilk küme teorisi, Russell paradoksundan kaçınmak için bir yol öneren Zermaelo tarafından verilmiştir.

(7) Doğal sayılar, ‘boş küme’ ve ‘boş kümelerin kümeleri’ kullanılarak tanımlanır. Ardından, ‘toplama’ ve ‘çıkarma’ gibi işlemler, doğal sayıları temsil eden kümeler arasındaki ‘birleşme’ ve ‘kesişme’ işlemleri kullanılarak tanımlanır.

KAYNAKLAR

Baldwin, J.F., (1979), "Fuzzy Logic and Fuzzy Reasoning", Int. J.Man-Machine St., 11, 465-480.

Dubois, D., Lang, J., Prade, H., (1991-b), "Fuzzy Sets in Approximate Reasoning, Part 2 : Logical Approaches", Fuzzy Sets and Systems, 40, 203-244.

Fraenkel, A.A., (1966), Set Theory and Logic, Addison-Wesley P.Co.

Gaines, B.R., (1976), "Foundations of Fuzzy Reasoning", Int. J.Man-Machine Studies, 8, 623-668.

Haack, S., (1978), Philosophy of Logic, Cambridge Un. Press.

Johnson, P.E., (1972), A History of Set Theory, Prindle, Weber, & Schmidt Inc.

Kosko, B., (1992), Neural Networks and Fuzzy Systems: A Dynamical Systems Approach To Machine Intelligence, Prentice-Hall Int., Inc.

Lemmon, E.J., (1968), Introduction to Set Theory, Routledge & Kegan Paul Ltd.

Pedryez, W., (1993), Fuzzy Control and Fuzzy Systems, Research Studies Press Ltd., (2nd Ext. ed.), John Wiley and Sons Inc.

Zadeh, L.A., (1965), "Fuzzy Sets", Information and Control, 8, 338-353.

Zadeh, L.A., (1973), "Outline of a New Approach to the Analysis of Complex Systems and Decision Processes", IEEE Trans. on Sys., Man, and Cybernetics, SMC-3, 28-44.

Zadeh, L.A., (1975-a), "Fuzzy Logic and Approximate Reasoning", Synthese, 30, 407-428.